매개방정식과 극좌표

1. 매개방정식

1) 매개방정식

변수 $x$ 와 $y$가 매개변수 $t$의 함수로 표현됩니다. 여기서 t는 일정 범위의 값을 가지며, 이 범위 내에서 $x$와 $y$는 $t$의 값에 따라 변화합니다.

2) 미적분학에서의 응용

• 곡선 길이의 계산

$ L = \int_a^b \sqrt{ ({dx \over dt})^2 + ({dy \over dt}) ^2 }dt$

 

여기서 ${dx \over dt}$ 와 ${dy \over dy}$ 는 $x$ 와 $y$ 의 매개변수 $t$에 대한 도함수입니다.

• 곡선 아래의 면적

$A = \int_a^b{y(t)x'(t)dt}$

 

이 방정식은 곡선과 x축 사이의 면적을 구할 때 사용됩니다

2. 극좌표

극좌표는 평면상의 각 점을 각도와 거리로 나타내는 좌표 시스템입니다. 극 좌표는 두 가지 요소, $r$(원점에서의 거리()와 $\theta$(양의 x축과의 각도)로 구성됩니다. 이 시스템은 원, 나선 같은 대칭 형태나 회전 동체의 해석에 특히 유용합니다.

1) 극좌표의 정의

• 반지름($r$): 원점에서의 점까지의 직선거리
• 각도($\theta$): 반시계 방향으로 측정된 원점에서 시작하는 x축과의 각도

2) 좌표변환

• 직교 좌표에서 극좌표로 변환

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$
$\theta = tan^-1 ({y \over x})$

• 극좌표에서 직교 좌표로 변환

$x = r cos \theta$
$y = r sin \theta$

3. cos, sin, tan

삼각형은 빗변(hypotenuse), 높이(oppsite), 밑변(adjacent)으로 구서오디어 있습니다. 그리고 여기서 각각 A를 중심으로 

 

- $sin A =  {a \over h}$

- $cos A = {b \over h}$

- $tan A = {a \over h}$

 

1) cosine(cos)

• 정의: 직각삼각형에서, 특정 각도의 인접한 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값
• 원 위의 정의: 반지름이 1인 단위원에서, 원점에서 시작하여 양의 x축과 각도 $\theta$를 이루는 선과 원의 교점의 x좌표값

$ cos(\theta) = {인접 변의 길이 \over 빗변의 길이}$

2) sine(sin)

• 정의: 직각삼각형에서 , 특정각도의 마주보는 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값입니다.
• 원 위의 정의: 반지름이 1인 단위원에서, 원점에서 시작하여 양의 x축과 각도$\theta$를 이루는 선과 원의 고점의 y좌표 값입니다.

$ sin(\theta) = {마주보는 변의 길이 \over 빗변의 길이}$

3) tangent(tan)

• 정의 직각삼각형에서, 특정 각도의 마주보는 변의 길이를 인접한 변의 길이로 나눈 값
• 원 위의 정의: 단위원에서 각도 $\theta$ 의 탄젠트은 원의 따라 각도 $\theta\에서 만들어지는 x축의 양의 방향과 만나는 점의 x좌표입니다.

$tan(\theta) = {sin(\theta) \over cos(\theta)} = {마주보는 변의 길이 \over 인접변의 길이$

reference

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