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수학24

확률변수의 함수의 분포: 이산형 분포의 근사, 체비셰프 부등식과 확률수렴, 극한 적률생성함수 이산형 분포의 근사(Approximation of Discrete Distributions)이산형 분포의 근사는 이산 확률분포를 연속 확률분포로 근사하여 계산을 간단하게 하거나 이론적 분석을 용이하게 하는 방법입니다. 대표적인 예로 포아송 분포와 이항 분포의 정규 분포로의 근사가 있습니다.포아송 분포의 정규근사평균 $\lambda$가 큰 포아송 분포는 평균과 분산이 $\lambda$인 정규 분포로 근사할 수 있습니다. 일반적으로 $\lambda \ge 30$일 때 유효하다고 여겨집니다.이항 분포의 정규근사시행 횟수 n이 크고, 성공확률 p가 0과 1에서 너무 멀지 않은 경우, 이항 분포 B(n,p)는 평균 np와 분산 np(1-p)를 가진 정규 분포로 근사할 수 있습니다. n이 크고 np와 n(1-p)가.. 2024. 10. 3.
확률변수의 함수의 분포: 적률생성함수기법, 정규분포와 관련된 확률함수, 중심극한정리 적률생성함수(Moment Generating Function, MGF)적률생성함수는 확률변수의 모든 적률(기댓값의 연산으로 정의되는 통계량)을 생성하는 함수입니다. 이 함수는 확률변수 X에 대한 정보를 포함하며, 특히 확률변수의 분포를 완전히 특정짓는 데 사용될 수 있습니다. 적률생성함수 $M_x(t)$는 다음과 같이 정의됩니다.$$ M_x(t) = E[e^tX] $$여기서 E는 기댓값을 의미하며, t는 실수입니다.활용적률생성함수는 분포의 모든 적률을 계산할 수 있게 해주며, 두 확률변수가 같은 분포를 갖는지 비교하는 데 유용합니다. 또한, 확률변수의 합의 분포를 찾는 데에도 사용됩니다. 예를 들어, 독립적인 확률변수들의 합의 적률생성함수는 각 확률변수의 적률생성함수의 곱과 같습니다.정규분포와 관련된 확.. 2024. 10. 3.
확률변수의 함수의 분포:한 확률변수의 함수, 두 확률변수의 변환, 여러 독립인 확률 변수 한 확률변수의 함수(Function of a Random Variable)확률변수의 함수는 어떤 확률변수 X에 대해 정의된 함수 Y = g(X)로, X의 각 값에 함수 g를 적용하여 새로운 확률변수 Y를 생성합니다. 이는 X의 확률 분포를 이용해 Y의 분포를 유도하는 과정입니다.예시만약 X가 표준 정규 분포를 따르는 확률변수라면, Y = $X^2$은 카이제곱 분포를 따릅니다. 이를 통해 X의 값을 제곱함으로써 Y 의 확률 분포를 얻을 수 있습니다.두 확률변수의 변환(Transformation of Two Random Variables)두 확률변수 X와 Y에 대해 정의된 함수 Z = g(X,Y)는 두 변수의 결합 분포를 사용하여 Z의 분포를 찾습니다. 이는 두 변수의 상호작용을 통해 새로운 확률변수를 형성.. 2024. 10. 3.
이변량 분포: 연속형 이변량 분포, 이변량 정규분포 연속형 이변량 분포(Continuous Bivariate Distribution)연속형 이변량 분포는 두 연속 변수의 결합된 확률 분포를 나타냅니다. 이는 두 변수가 각각 취할 수 있는 연속적인 값을 가지며, 이 두 변수 간의 확률적 관계를 모델링합니다.예시예를 들어, 어느 지역의 일일 최고기온과 일일 강수량을 생각해볼 수 있습니다. 이 두 변수는 연속적인 값을 가지며, 최고기온과 강수량의 결합 분포를 통해 어떤 기온에서 어떤 양의 비가 내릴 확률이 가장 높은지를 분석할 수 있습니다.활용이변량 연속 분포는 공학, 경제학, 환경과학 등 다양한 분야에서 두 변수 간의 관계를 파악하고 예측 모델을 만드는 데 사용됩니다.이변량 정규분포(Bivariate Normal Distribution)이변량 정규분포는 두 .. 2024. 10. 3.
이변량 분포: 이산형 이변량 분포, 상관계수, 조건부 분포이변량 분포: 이산형 이변량 분포, 상관계수, 조건부 분포 이산형 이변량 분포정의정의 1-1X와 Y를 이산형 확률공간에서 정의된 2개의 확률변수라고 하고, X와 Y에 대응하는 2차원 공간을 S라고 하자. X=x, Y=y인 확률을 f(x,y) = P(X = x, Y = y)라 하면, f(x, y)는 X와 Y의 결합확률질량함수(joint probalbility mass function, joint pmf)라고 하고 다음과 같은 성질을 갖는다.(a) $0 \le f(x, y) \le 1$(b) $\sum\sum_{(x,y) \in S} f(x,y) = 1$(c) $P[(X, Y) \in A] = \sum\sum_{(x,y) \in A} f(x,y)$, 여기서 A는 공간 S의 부분집합니다.정의 1-2X,Y가 공간 S에서 결합 pmf f(x,y)를 가질 때 X만의 pmf.. 2024. 10. 3.
연속형 확률변수: 지수, 감마, 카이제곱분포, 표준편차 지수분포(Exponential Distribution)지수분포는 특정 이벤트가 발생할 때까지의 대기 시간을 모델링할 때 사용됩니다. 이는 일정한 비율로 발생하는 사건의 간격을 설명하는데 적합합니다. 예를 들어, 라이도 활성 물질의 붕괴, 상점에 고객이 도착하는 시간 등이 있습니다.감마분포(Gamma Distribution)감마분포는 지수본포를 일반화한 것으로 ,여러 지수적 사건의 합을 모델링합니다. 이 분포는 다양한 생물학적 및 공학적 응용에 사용되며 서비스 시간과 수명 데이터 분석에도 유용합니다.카이제곱분포(Chi-squared Distribution)카이제곱분포는 독립적인 표준 정규분포를 따르는 변수들의 제곱합으로 정의됩니다. 이 분포는 주로 좋은 적합도 검정과 독립성 검정에 사용됩니다.정규분포(No.. 2024. 9. 24.
연속형 분포, 연속형 확률변수 확률 밀도 함수확률밀도함수는 연속형 확률변수의 분포를 설명하는 함수입니다. 이 함수는 특정 값에 대한 확률이 아닌 값의 밀도를 나타냅니다. 연속형 확률 변수의 경우 특정 값에서의 확률은 0 이지만, 확률밀도함수를 특정구간에 대해 적분하면 그 구간에서 변수가 취할 확률을 구할 수 있습니다.확률변수 X의 구간 [a, b] $-\infty $$ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(y)dy $$여기서$$ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \le x \le b $$그리고 그 외의 곳에서는 0이다. 즉 F'(x) = f(x)이고 f(x)를 X의 확률밀도함수(proba-bility density function)라고 하며 X의 pdf로 간단히 표기한다.누적분포함수누적분포함수는 변수의 값이 특정.. 2024. 9. 24.
이산형 분포: 이산 분포, 초기하분포, 음이항분포, 푸아송분포 베르누이 시행(Bernoulli trial), 이산분포, 이산분포이라 부르는 베르누이 실험(Bernoulli experiment)은 실험의 결과가 이를테면 성공 혹은 실패와 같이 2개의 상호배반이고 포괄적인 방법 중 하나이다. 베르누이 실험이 독립적으로 여러번 실행될 때 그리고 성공확률 p가 매 시행마다 같을 때, 일련의 독립적인 베르누이 시행(independent Bernoulli trial)이 발생한다. 게다가, q = 1-p는 실패확률이라 한다.초기하분포비복원 추출에 관련된 분포로서, 주어진 모집단에서 성공과 실패로 나눌 수 있는 항목들이 있을 때, 그 모집단에서 임의로 비복원 추출하여 성공한 항목의 개수를 구하는데 사용예시: 50개의 카드 중 10장이 에이스일 때, 5장을 뽑았을 때 에이스가 몇 .. 2024. 9. 23.
이산형 분포: 이산형 확률변수, 수학적 기댓값 이산형 확률변수이산형(discrete type): 실수의 부분집합인 1차원 공간 S를 갖는 확률변수를 X라 하자. 공간 S는 셀 수 있는 만큼의 점들을 포함하고 있다고 하자. 즉, 유한개이거나 혹은 S의 점들이 양의 정수와 1:1 대응관계를 가진다. 그런 집합 S를 이산 점들의 집합 또는 이산(discrete) 표본공간이라고한다. 게다가, 확률변수 X는 이산형 확률변수라고 하고, X는 이산형 분포를 갖는다고 한다.확률질량함수(probability mass function): 이산형 확률변수 X에 대해, 확률 P(X = x)는 종종 f(x) 혹은 pmf라 불리운다.x $ x \in S $ 에 대해 , 확률 P(X = x) = f(x) > 0 이고 S가 X와 관련된 모든 확률을 포함하고 있기 때문에, S를 .. 2024. 9. 22.

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