확률변수의 함수의 분포: 적률생성함수기법, 정규분포와 관련된 확률함수, 중심극한정리

적률생성함수(Moment Generating Function, MGF)

적률생성함수는 확률변수의 모든 적률(기댓값의 연산으로 정의되는 통계량)을 생성하는 함수입니다. 이 함수는 확률변수 X에 대한 정보를 포함하며, 특히 확률변수의 분포를 완전히 특정짓는 데 사용될 수 있습니다. 적률생성함수 $M_x(t)$는 다음과 같이 정의됩니다.
$$ M_x(t) = E[e^tX] $$
여기서 E는 기댓값을 의미하며, t는 실수입니다.

활용

적률생성함수는 분포의 모든 적률을 계산할 수 있게 해주며, 두 확률변수가 같은 분포를 갖는지 비교하는 데 유용합니다. 또한, 확률변수의 합의 분포를 찾는 데에도 사용됩니다. 예를 들어, 독립적인 확률변수들의 합의 적률생성함수는 각 확률변수의 적률생성함수의 곱과 같습니다.

정규분포와 관련된 확률함수

정규분포는 자연과 과학에서 발견되는 많은 현상을 모델링하기 위해 널리 사용되는 연속 확률분포입니다. 정규분포의 확률밀도함수(PDF)는 다음과 같이 주어집니다.

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

여기서 $\mu$는 평균이고, $\sigma^2$는 분산입니다.

중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)

중심극한정리는 확률론에서 매우 중요한 위치를 차지하는 이론으로, 많은 독립적이고 동일하게 분포된 확률변수들의 합이 정규분포에 근사하다는 것을 설명합니다. 이는 표본의 크기가 충분히 클 때(일반적으로 30 이상), 다양한 모집단 분포에 대해서도 성립합니다.

정리

만약 $X_1, X_2, ..., X_n$이 독립적이며 동일한 분포를 가지는 확률변수들이고 각각 평균 $\mu$와 분산 $\sigma^2$를 가진다면, 이들의 평균

$$ X = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$$

은 평균이 $\mu$, 분산이 $\frac{\sigma^2}{n}$인 정규분포로 근사할 수 있습니다.

중심극한정리는 통계학에서 표본분포를 다룰 때 근거로 사용되며, 큰 수의 법칙과 함께 확률론의 기초적인 부분을 형성합니다.