확률변수의 함수의 분포:한 확률변수의 함수, 두 확률변수의 변환, 여러 독립인 확률 변수

한 확률변수의 함수(Function of a Random Variable)

확률변수의 함수는 어떤 확률변수 X에 대해 정의된 함수 Y = g(X)로, X의 각 값에 함수 g를 적용하여 새로운 확률변수 Y를 생성합니다. 이는 X의 확률 분포를 이용해 Y의 분포를 유도하는 과정입니다.

예시

만약 X가 표준 정규 분포를 따르는 확률변수라면, Y = $X^2$은 카이제곱 분포를 따릅니다. 이를 통해 X의 값을 제곱함으로써 Y 의 확률 분포를 얻을 수 있습니다.

두 확률변수의 변환(Transformation of Two Random Variables)

두 확률변수 X와 Y에 대해 정의된 함수 Z = g(X,Y)는 두 변수의 결합 분포를 사용하여 Z의 분포를 찾습니다. 이는 두 변수의 상호작용을 통해 새로운 확률변수를 형성하는 것입니다.

예시

예를 들어, X와 Y가 독립적이고 각각 정규 분포를 따른다면, Z = X + Y는 두 정규 분포의 합으로서 역시 정규 분포를 따릅니다. 이러한 성질은 선형 조합에서 자주 사용됩니다.

여러 독립인 확률변수들 (Several Independent Random Variables)

여러 독립적인 확률변수들은 서로 영향을 주지 않으며 각각의 확률변수가 다른 변수들의 결과에 영향을 미치지 않습니다. 이러한 변수들의 조합은 종종 복잡한 확률 모델을 구성하는 데 사용됩니다.

예시

예를 들어, 독립적인 확률 변수 $X_1, X_2, ... , X_n$ 각각이 평균 $\mu$와 분산 $\sigma^2$를 가진 정규 분포를 따른다면, 이들의 합 $S = X_1 + X_2 + ... + X_n$은 평균 $n\mu$이고 분산이 $n\sigma^2$인 정규 분포를 따르게 됩니다. 이는 중심극한정리의 한 예로, 많은 수의 독립적인 확률변수의 합이 정규 분포에 근사한다는 것을 보여줍니다.