이변량 분포: 연속형 이변량 분포, 이변량 정규분포

연속형 이변량 분포(Continuous Bivariate Distribution)

연속형 이변량 분포는 두 연속 변수의 결합된 확률 분포를 나타냅니다. 이는 두 변수가 각각 취할 수 있는 연속적인 값을 가지며, 이 두 변수 간의 확률적 관계를 모델링합니다.

예시

예를 들어, 어느 지역의 일일 최고기온과 일일 강수량을 생각해볼 수 있습니다. 이 두 변수는 연속적인 값을 가지며, 최고기온과 강수량의 결합 분포를 통해 어떤 기온에서 어떤 양의 비가 내릴 확률이 가장 높은지를 분석할 수 있습니다.

활용

이변량 연속 분포는 공학, 경제학, 환경과학 등 다양한 분야에서 두 변수 간의 관계를 파악하고 예측 모델을 만드는 데 사용됩니다.

이변량 정규분포(Bivariate Normal Distribution)

이변량 정규분포는 두 변수가 모두 정규 분포를 따르고, 이들 사이에 선형적인 관계가 있다는 가정 하에 구축된 확률 분포입니다. 이 분포는 두 변수 각각의 평균과 분산, 그리고 두 변수 사이의 공분산으로 정의됩니다.

공식

두 변수 X와 Y가 이변량 정규분포를 따른다면, 그들의 결합 밀도 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_y\sqrt{1-p^2}} exp (- \frac{1}{2(1-p^2)}(\frac{(x-\mu x)^2}{\sigma^2_X} + \frac{(y-\mu y)^2}{\sigma^2_Y} - \frac{2p(x - \mu_x)(y - \mu_y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

여기서 $\mu_X,\mu_Y$는 각 변수의 평균, $\sigma_X,\sigma_Y$는 표준편자, p는 두 변수간의 상관계수입니다.

예시

이변량 정규분포는 재무 분석에서 자산수익률의 분석, 기후 모델링에서 온도와 습도의 관계등을 모델링하는데 사용됩니다.