적분

1. 적분

• 미분의 반대 개념이다.
• 적분을 활용하면 함수의 주어진 영역에 대한 넓이, 부피를 구할 수 있다.
• 단순히 '주어진 함수를 적분한다'라는 표현을 쓴다면 그것은 주어진 함수의 '부정적분'을 구하는 것
• 구간을 주어'주어진 함수를 a에서 b까지 적분한다'라는 표현을 쓴다면 함수의 해당 구간의 '정적분' 값을 구하는 것이다.

1) 부정적분

주어진 함수 f(x)를 도함수로 가지는 함수 F(x)를 구하는 것을 말한다.

 

$F'(x)=f(x)$

 

여기서 F(x)는 함수 f(x)의 부정적분(원시함수)라고 표현한다. 부정적분이라는 표현은 주어진 함수에 대한 원시함수의 동의어를 말하기도 하고, 그 원시함수를 구하는 과정을 말하기도 한다.

부정적분은 하나가 아니다. 직관적으로 함수 F(x)를 y축 방향으로 평행이동하여 만든 함수 G(x)는 기울기 변화에 있어서는 원래 함수인 F(x)와 같기 때문에 미분한 결과 역시 F(x)와 같다는 것을 알 수 있다. 실제로 상수 C는 미분하여 0이 되기 때문에

 

${F(x)+C}' = F'(x)+C'= f(x)$

 

와 같이 표현할 수 있다. 함수 F(x)가 함수 f(x)의 원시함수라고 한다면 상수 C에 대해, F(x)+C도 함수 f(x)의 부정적분이 된다는 것을 알 수 있다.

주어진 함수 f(x)에 대해서 부정적분이 하나가 아니기 때문에 ,함수 f(x)의 부정적분을 이용할 때에는 상수 C를 이용해서

 

$\int f(x)dx= F(x) + C$

 

와 같이 표현할수 있으며, f(x)는 적분을 하는 대상이기 때문에 '피적분함수'라고 부르고, 상수 C는 적분 상수라고 부른다. 이와 같이 구간을 정하지 않고 적분을 하는 것은 주어진 함수의 부정적분(원시함수)를 구하는 것이다.

2) 정적분

a에서 b까지의 주어진 함수의 정적분의 값은

 

$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x $

 

와 같은 무한급수이다.

 

$ \int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x $

 

와 같이 나타내어 정적분의 정의라고 한다.

위 식에서

 

$$ x_k= \alpha + k\Delta x, \Delta x = {b - a \over n} $$

 

이며, 이것은 적분하고자 하는 구간을 n개의 조각으로 나눈 것의 하나하나를 표현하기 위한 수단이라고 보면된다.

3) 정적분과 무한급수 사이의 관계

일상적인 상황에서 어떤 도형을 무하급수의 식으로 표현했을 때, 그 식을 다시 적분식으로 표현해서 값을 구하고자 할 때 요긴하게 쓸 수 있다.
정적분의 정의를 살펴보면 시그마 부호 안은 'k번째 조각의 함숫값'과 '조각 하나의 길이'를 곱한 것이다. 이것은 하나의 조각을 직사각형으로 보고 그 조각의 가로와 세로를 곱한 것이다. 이것은 여러 개의 직사각형으로 분할하여, 그 작은 직사각형을 하나한의 넓이를 더한다는 것을 의미한다.

4) 정적분은 왜 이와 같이 주어진 함수의 구간을 '아주 작아질 때' 까지 나눌까?

이를 이해하기 위해선 구분구적 법을 이해해야한다.
구분구적법은 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하기 어려울 때, 구하는 방법을 알고 있는 작은 도형을 분할하여, 그 작은 도형의 넓이나 부피를 각각 구하여, 그 값들을 합하여 근삿값을 구하는 방법이다. 예를들어, 원의 넓이는 곡선이기 때문에 구하기 어렵지만 그것을 수없이 많은 작은 '삼각형과 같은 도형'으로 분할하여, 그 '삼각형과 같은 도형'의 넓이를 '삼각형'넓이를 구하는 방법으로 각가을 구하여, 그 값들을 합하여 원의 넓이의 근삿값을 구하는 것이 대표적인 예이다.

Reference

https://ssossoblog.tistory.com/35
https://unolab.tistory.com/entry/%EC%A0%81%EB%B6%84%EC%9D%98-%EC%A0%95%EC%9D%98-%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84%EC%9D%98-%EC%A0%95%EC%9D%98