연속함수와 미분

1. 연속함수

1) 연속의 정의

함수의 연속이란 함수 $f(x)$가 실수 $\alpha$에 대하여

$x = \alpha$에서 $f(x)$가 정의되어 있고
$\displaystyle \lim_{x\to\alpha}{f(x)}$ 가 존재하며
$\displaystyle \lim_{x\to\alpha}{f(x)} = f(\alpha)$
일 때, 함수 $f(x)는 $x = \alpha$에서 연속이라 한다.

 

극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 함수의 연속 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle \lim_{x\to\alpha -}{f(x)} = f(\alpha) = \lim_{x\to\alpha +}{f(x)}$

2) 연속함수의 정의

함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에서 연속일 때, f(x)는 그 구간에서 연속 또는 연속함수라고 한다.

3) 연속함수의 성질

두 함수 f(x), g(x)가 각각 x = $\alpha$에서 연속이면 다음 함수도 x $\alpha$에서 연속이다.

 

1. $kf(x)$
2. $f(x) \pm g(x)$
3. $f(x)g(x)
4. ${f(x) \over g(x)}$ (단, $g(x) \ne 0$)

2. 미분

1) 미분의 정의

• 한 점에서의 기울기
• 미분 x가 0으로 수렴할 때를 기준으로 하며 이를 한 점에서의 기울기(미분)으로 정의한다.

 

 

$\displaystyle \lim_{x \to 0}{y증가량 \over x증가량}$

Reference

https://zhonya.tistory.com/70
https://blog.naver.com/algosn/221253539965