벡터와 공간기하학

벡터와 공간기하학은 물리적 공간과 그 내의 현상을 수학적으로 모델링하는데 필수적 입니다.

1. Vector

벡터는 크기와 방향을 가진 양입니다. 공간 내에서 벡터는 한 지점에서 다른 지점으로의 이동을 나타내며, 물리학에서는 속도, 힘, 가속도 등을 표현하는데 사용됩니다.

1) 기본개념

크기(magnitude): 벡터의 '길이'를 의미하며 벡터 $\to{v} = (x,y,z)$의 크기는 $||\to{v}|| = \sart{x^2 y^2 + z^2}로 계산합니다.
방향(direction): 벡터가 가리키는 방향
단위 벡터(Unit Vector): 크기가 1인 벡터 벡터 $\to{v}$의 단위는 $\to{v} \over ||\to{v)||$

2) 벡터 연산

• 벡터 덧셈: $u\vec{u}u$와 $v\vec{v}v$ 의 각 성분을 더하는 것입니다.

$\vec{u}+\vec{v}=(u1+v1,u2+v2,u3+v3)$

• 스칼라 곲: 벡터 $\vec{v}와 스칼라 $c$의 곱은 각 성분을 $c$로 곱하는 것 입니다.

$c\vec{v} = (cv_1, cv_2, cv_3)$

• 내적: 두 벡터 간의 각도를 계산하는 데 사용

$\vec{u} \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

• 외적: 두 벡터의 외적은 두 벡터에 모두 수직인 새로운 벡터를 생성하며, 다음과 같이 표현

$\vec{u} \times \vec{v}$

2. 공간기하학

공간기하학은 3차원 공간 내의 점, 선, 면의 관계를 다룹니다.

• 평면(Plane)과 선(Line): 공간에서 평면은 벡터의 선형 결합으로 표현되며, 선은 한 점과 방향 벡터를 통해 정의됩니다.
• 거리(Distance)와 각도(Angle): 백터의 내적과 외적을 사용하여 공간 내의 거리와 각도를 계산할 수 있습니다.