벡터 함수(Vector Functions)

벡터 함수는 변수에 대해 벡터 값을 반환하는 함수입니다. 이는 공간에서의 곡선이나 물리적 과정을 모델링할 때 특히 유용하며, 다양한 차원에서의 움직임을 기술하는 데 사용됩니다.

1. 벡터 함수의 정의

벡터 함수는 한 변수 $t$에 대해 세 개의 구성 요소 함수 $x(t), y(t), z(t)$로 이루어져 있으며, 각각은 $t$의 함수입니다. 벡터 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

 

$\vec{r}(t) = <x(t),y(t),z(t)>$

 

여기서 $\vec{r}(t)$는 시간 $t$에서의 벡터 위치를 나타냅니다.

2. 벡터 함수의 예시

1) 직선(Line): 벡터 형태의 직선은 시작점과 방향 벡터를 사용하여 표현됩니다.

 

$\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t\vec{v}$

 

여기서 $\vec{r_0}$ 는 시작점의 위치 벡터이고, $\vec{v}$는 직선의 방향 벡터 입니다.

 

2) 원(Cricle): 평면 상의 원을 벡터 함수로 표현하면 다음과 같습니다

 

$\vec{r}(t) = <r cos(t), r sin(t)>$

3. 벡터 함수의 미적분

벡터 함수도 미분과 적분을 통해 다룰 수 있습니다. 이는 물리학에서 속도, 가속도와 같은 벡터량을 계산하는 데 중요합니다.

 

1) 미분(Derivative): 벡터 함수의 미분은 각 구성 요소 함수의 미분으로 구성됩니다.

 

$\vec{r}'(t) = <x'(t),y'(t),z'(t)>$

 

이는 $t$에서의 벡터 함수의 속도 벡터를 제공합니다.

 

2) 적분(Integral): 벡터 함수의 적분은 각 구성 요소의 적분으로 이루어집니다.

 

$\int{\vec{r}(t)dt} = <\int{x(t)dt}, \int{y(t)dt}, \int{z(t)dt}>$