다중적분은 하나 이상의 변수에 대해 적분을수행하는 과정입니다. 이는 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 복잡한 시스템과 영역에 대한 계산을 가능하게 합니다. 다중적분에는 주로 이중적분과 삼중적분이 있으며, 각각 두 변수와 세 변수에 대한 적분을 의미합니다.
1. 이중적분
이중적분은 2차원 영역에서 함수의 적분을 계산합니다. 이는 표면 아래의 부피를 구하는 것과 비슷하며, 특정 영역에서 함수의 총합을 계산하는 데 사용됩니다.
1) 기본형태
$\int\int_R{f(x,y)dxdy)}$
여기서 $R$은 적분 영역(예: 직사각형, 원 등)이며, f(x,y)는 적분할 함수 입니다.
2) 적분 순서
- x가 먼저: 먼저 y의 한계를 고정하고 x에 대해 적분한 다음, y에 대해 적분합니다.
- y가 먼저: 먼저 x의 한계를 고정하고 y에 대해 적분한 다음, x에 대해 적분합니다.
3) 적용 예
예를 들어, 직사각형 영역에서 $f(x,y) = x^2 + y^2%의 이중적분을 계산할 때, 적분 범위가 x가 0에서 2, y가 0에서 3인경우
$\int_0^3 \int_0^2{(x^2 + y^2)dxdy}$
2. 삼중적분
3차원 공간에서 함수의 적분을 계산합니다. 이는 부피 내에서 함수의 총합을 계산하는 데 사용되며, 예를 들어 물리학에서는 질량 분포나 전하 분포를 계산할 때 사용됩니다.