확률, 경우의 수

경우의 수

1. 곱의 원리

• 곱의 원리(multiplication principle) 확률 실험 $E_1$ 이 $n_1$개의 결과를 그리고 각각의 가능한 결과에 대해 실험 $E_2$ 가 $n_2$개의 결과를 가능한 결과를 가진다고 하자. 이 때 $E_1$과 $E_2$로 구성된 복합실험 $E_1 E_2$는 $n_1 n_2$개의 가능한 결과를 갖는다.

2. 정의

정의 1
n개의 서로 다른 객체애 대한 n!가지의 배열 각각을 n개 개체의 순열(permuta-tion)이라고 한다.

정의 2
P(n,r) 의 배열을 n개의 개체 중 r개를 선택해 배열한 순열(permutation of n objects taken r at a time)이라고 한다.
$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

정의 3
n개의 개체를 포함하고 있는 집합으로부터 순서를 고려하여 r개의 개체를 추출할 때, 선택한 r개의 개체 집합을 크기 r인 순서표본(ordered sample of size r)이라고 한다.

정의 4
개체를 추출할 때 다음번 개체가 추출되기 전에 추출한 개체를 다시 돌려놓으며 추출하는 방법을 복원 추출(sampling)이라고 한다.
곱의 원리에 의해, n개의 개체를 포함한 집합에서 크기 r의 순서 표본의수는 복원 추출이 가능할 때 $n^r$가지 이다.

정의 5
일단 추출된 개체를 다시 돌려놓지 않으며 추출하는 방법을 비복원추출(sampling without replacement)이라고 한다.
P(n,r)과 같다.

정의 6
C(n,r)개의 비순서 부분집합 각각을 n개의 개체 중 r개를 선택하는 조합(combination of n objects taken r at a time)이라 한다. 여기서,
$$C(n,r) = \binom{n}{r}= \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

정의 7
n개의 개체 중 r개는 한 종류이고 나머지 n-r개는 다른 한종류인 n개 개체의 C(n,r)가지 순열들의 각각을 구별 가능한 순열(distinguishable permutation)이라고 한다.