확률의 성질
1) 용어 정리
- 확률실험: 결과를 분명하게 예측할수 없는 실험
- 표본공간(S): 모든 가능한 결과의 집합
- 사상: $A \subset S$일 경우 A는 사상(event)이다. 실험의 결과가 A에 포함될 때 '사상 A가 발생했다' 라고 표현할 수 있다.
- 벤 다이어그램(Venn diagram): S라는 사각형 내부의 집합 관계를 표현한 그림
- 상호배반사상(mutually exclusive event): 서로 소 집합을 의미, 서로 일치하는 것이 없다.
- 포괄성 사상(exhuastive event): A(부분집합)=S(전체집합)을 의미
- A가 발생할 가능성: P(A)
- 시행(trials): 실험을 n번 반복한 횟수
- A의 빈도: n번 시행에서 A가 발생한 횟수, N(A)
- A의 상대 도수: n번 시행에서 A가 발생한 비율, N(A)/n
- 확률: 상대 도수는 n이 작을 때 불안정, n이 커지면 안정되는 경우가 있다.이러한 상대도수가 안정화되는 값을 p와 연계되며, 사상 A에 할당된 p는 사상 A의 확률이라고 한다, P(A) 즉, P(A)는 어떤 확률실험 시행횟수가 무한정 증가할 때 그 확률 실험 결과에서 사상 A의 비율을 나타낸다.
- 집합 함수(set function): A에 대해 평가되는 P(A) 같은 함수를 의미
- 집합 관련 기호
$\emptyset$ : 공집합(null or empty set)
$A \subset B$ : A가 B의 부분집합(subset)임을 의미
$A \cup B$ : A와 B의 합집합(union)을 의미
$A \cap B$ : A와 B의 교집합(intersection)을 의미
$A'$ : A의 여집합(complement)를 의미
2) 집합 연산의 법칙
- 교환 법칙
$A \cup B = B \cup A$
$A \cap B = B \cap A$
- 결합법칙
$ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $
$ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $
- 분배법칙
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B) \cup (A\cap C)$
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B) \cap (A\cup C)$ - 드모르간 법칙
$(A\cup B)' = A' \cap B'$
$(A\cup B)' = A' \cup B'$
정의 1
확률(probability)이란 표본공간 S에 속해 있는 각 사상 A에 대해 사상 A의 확률이라고 하는 수 P(A)를 지정하는 실숫값 집합함수 P이며 다음의 성질을 만족한다.
(a) $P(A) \ge 0$
(b) $P(S) = 1$
(c) 사상 $A_1, A_2, A_3, ...$ 들이 $i \ne j$에 대해 $A_i \cap A_j = \emptyset$을 만족하면, 양의 정수 k에 대해
$P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_k)$
그리고 사상의 수가 무한이지만 셀 수 있는 경우에는 다음이 성립한다.
$P(A_1 \cup A_2 \cup ... ) = P(A_1) + P(A_2) + ...$
정의 1-1
사상 A에 대해 P(A) = 1 - P(A')이다.
정의 1-2
$P(\emptyset ) = 0$
정의 1-3
두 사상 A,B가 $A \subset B)$를 만족하면, $P(A) \le P(B)$ 이다.
정의 1-4
사상 A에 대해 $P(A) \le 1$ 이다.
정의 1-5
임의의 두 사상 A,B에 대해 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
정의 1-6
임의의 사상 A, B, C에 대해
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap c) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$