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통계학8

연속형 확률변수: 지수, 감마, 카이제곱분포, 표준편차 지수분포(Exponential Distribution)지수분포는 특정 이벤트가 발생할 때까지의 대기 시간을 모델링할 때 사용됩니다. 이는 일정한 비율로 발생하는 사건의 간격을 설명하는데 적합합니다. 예를 들어, 라이도 활성 물질의 붕괴, 상점에 고객이 도착하는 시간 등이 있습니다.감마분포(Gamma Distribution)감마분포는 지수본포를 일반화한 것으로 ,여러 지수적 사건의 합을 모델링합니다. 이 분포는 다양한 생물학적 및 공학적 응용에 사용되며 서비스 시간과 수명 데이터 분석에도 유용합니다.카이제곱분포(Chi-squared Distribution)카이제곱분포는 독립적인 표준 정규분포를 따르는 변수들의 제곱합으로 정의됩니다. 이 분포는 주로 좋은 적합도 검정과 독립성 검정에 사용됩니다.정규분포(No.. 2024. 9. 24.
연속형 분포, 연속형 확률변수 확률 밀도 함수확률밀도함수는 연속형 확률변수의 분포를 설명하는 함수입니다. 이 함수는 특정 값에 대한 확률이 아닌 값의 밀도를 나타냅니다. 연속형 확률 변수의 경우 특정 값에서의 확률은 0 이지만, 확률밀도함수를 특정구간에 대해 적분하면 그 구간에서 변수가 취할 확률을 구할 수 있습니다.확률변수 X의 구간 [a, b] $-\infty $$ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(y)dy $$여기서$$ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \le x \le b $$그리고 그 외의 곳에서는 0이다. 즉 F'(x) = f(x)이고 f(x)를 X의 확률밀도함수(proba-bility density function)라고 하며 X의 pdf로 간단히 표기한다.누적분포함수누적분포함수는 변수의 값이 특정.. 2024. 9. 24.
이산형 분포: 이산 분포, 초기하분포, 음이항분포, 푸아송분포 베르누이 시행(Bernoulli trial), 이산분포, 이산분포이라 부르는 베르누이 실험(Bernoulli experiment)은 실험의 결과가 이를테면 성공 혹은 실패와 같이 2개의 상호배반이고 포괄적인 방법 중 하나이다. 베르누이 실험이 독립적으로 여러번 실행될 때 그리고 성공확률 p가 매 시행마다 같을 때, 일련의 독립적인 베르누이 시행(independent Bernoulli trial)이 발생한다. 게다가, q = 1-p는 실패확률이라 한다.초기하분포비복원 추출에 관련된 분포로서, 주어진 모집단에서 성공과 실패로 나눌 수 있는 항목들이 있을 때, 그 모집단에서 임의로 비복원 추출하여 성공한 항목의 개수를 구하는데 사용예시: 50개의 카드 중 10장이 에이스일 때, 5장을 뽑았을 때 에이스가 몇 .. 2024. 9. 23.
이산형 분포: 이산형 확률변수, 수학적 기댓값 이산형 확률변수이산형(discrete type): 실수의 부분집합인 1차원 공간 S를 갖는 확률변수를 X라 하자. 공간 S는 셀 수 있는 만큼의 점들을 포함하고 있다고 하자. 즉, 유한개이거나 혹은 S의 점들이 양의 정수와 1:1 대응관계를 가진다. 그런 집합 S를 이산 점들의 집합 또는 이산(discrete) 표본공간이라고한다. 게다가, 확률변수 X는 이산형 확률변수라고 하고, X는 이산형 분포를 갖는다고 한다.확률질량함수(probability mass function): 이산형 확률변수 X에 대해, 확률 P(X = x)는 종종 f(x) 혹은 pmf라 불리운다.x $ x \in S $ 에 대해 , 확률 P(X = x) = f(x) > 0 이고 S가 X와 관련된 모든 확률을 포함하고 있기 때문에, S를 .. 2024. 9. 22.
확률, 베이즈정리 실험 결과는 빨간색 칩, 어떤 그릇에서 나왔는지 모르니, 각각의 그릇에서 빨간색이 나올 확률을 구하여라.실험: 그릇을 선택한 후, 칩을 선택표기빨간색 칩: R,흰색칩: W그릇: B사상$B_1$: 2R, 4W$B_2$: 1R, 2W$B_3$; 5R, 4W각 그릇이 선택될 확률$P(B_1) = 1/3$$P(B_2) = 1/6$$P(B_3) = 1/3$위의 예제를 일반화 한다면$B_1, B_2, ... B_m$이 표본공간 S의 분할(partition), 즉 다음과 같다.$$ S = B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_m 그리고 B_i \cap B_j = \emptyset, i \ne j$$물론 모든 B는 상호배반이고, 포괄적이며 B의 사전확률(조건부 확률에서 원래 확률은 사전확률, 조건부 확률.. 2024. 9. 22.
확률, 독립사상 독립사상어느 두 사상에 대해, 한 사상의 발생이 다른 사상의 발생 확률에 영향을 줄 수도, 그렇지 않을 수도 있다. 후자인 경우에 두 사상은 독립이라 한다.정의정의 1사상 A와 B가 독립(independent)이기 위한 필요충분조건은 $P(A \cap B) = P(A)(B)$이다. 그렇지 않은 겨우 A와 B는 종속(dependent)사상들이다. 독립인 사상들은 종종 통계적으로 독립(statistically independent, stochastically independent), 혹은 확률적 의미에서 독립(independent in a probabilistic sence)이라 부르지만 많은 경우에 오해의 소지가 없다면 수식어 없이 독립이라고 한다.정의 1-1만약 A와 B가 독립 사상이면, 다음 쌍들의 사.. 2024. 9. 22.
확률, 조건부확률 정의 1P(B) > 0 일 때 , 사상 B가 발생했다는 조건하에 사상 A가 일어날 조건부 확률(con-ditional probablitity)$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$정의 22개의 사상 A 와 B가 모두 일어날 확률인 $P(A\cap B)$는 곱의 법칙(multiplication rule)에 의해 다음과 같이 정해진다.P(A) > 0 이라면$$ P(A\cap B) = P(A)P(B|A)$$혹은 P(B) > 0 이라면$$P(A\cap B) = P(B)P(A|B)$$ 2024. 9. 22.
확률, 경우의 수 경우의 수1. 곱의 원리곱의 원리(multiplication principle) 확률 실험 $E_1$ 이 $n_1$개의 결과를 그리고 각각의 가능한 결과에 대해 실험 $E_2$ 가 $n_2$개의 결과를 가능한 결과를 가진다고 하자. 이 때 $E_1$과 $E_2$로 구성된 복합실험 $E_1 E_2$는 $n_1 n_2$개의 가능한 결과를 갖는다.2. 정의정의 1n개의 서로 다른 객체애 대한 n!가지의 배열 각각을 n개 개체의 순열(permuta-tion)이라고 한다.정의 2P(n,r) 의 배열을 n개의 개체 중 r개를 선택해 배열한 순열(permutation of n objects taken r at a time)이라고 한다.$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$정의 3n개의 개체를 포함하고.. 2024. 9. 22.

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